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Zinseszinsrechnung - Einführung
Im Unterschied zur einfachen Verzinsung werden die Zinsen bei Fälligkeit nicht gesondert gutgeschrieben, sondern mit dem aufgelaufenen Kapital verrechnet und in der nächsten Zinsperiode selbst mit verzinst (daher der Begriff Zinseszinsen). Zinseszinsen dürfen nur zwischen Kaufleuten (§ 355 HGB) bzw. vom Inhaber einer Bankenkonzession (§ 248 BGB) verrechnet werden. Die sichere Anwendung der Zinseszinsrechnung bildet die Grundlage für zahlreiche Berechnungen im Finanzalltag.Die angefallenen Zinsen werden mithin dem Kapitalbetrag hinzugerechnet und bilden damit für die nächste Abrechnungsperiode einen neuen, um die "alten" Zinsen erhöhten Kapitalbetrag. Für die neue Zinsperiode werden so auch Zinsen auf Zinsen gerechnet. Dabei kann es sich um einmalige Einzahlungen und Geldanlagen, um regelmäßig wiederkehrende Einzahlungen (Sparraten) oder um eine beliebige Kombination von einmaligen und regelmäßigen Zahlungen handeln.
Nach der Preisangabenverordnung vom 01.09.2000 (PAngV) ist für die Berechnung der Effektivverzinsung bei unterjährigen Zahlungen, unabhängig von Zinsverrechnungszeitpunkten, von einer exponentiellen Verzinsung auszugehen. Zur Berechnung der Effektivverzinsung ist ein iteratives Verfahren (Näherungsrechnung) erforderlich. Iterationsrechnungen sind häufig zeitintensiv und werden online im Web - wenn überhaupt - in der Regel serverseitig vorgenommen und die Seiten müssen neu geladen werden. Durch Variieren der Zinssatzvorgabe ("Probiertechnik") kann – sofern erforderlich – auch eine interne Verzinsung manuell näherungsweise bestimmt werden.
Unterjährige Zinsverrechnung
Bei unterjähriger Zinseszinsrechung werden die Zinsen für jede Zinsperiode während des Jahres dem Kapital hinzugerechnet, so dass die erzielten Zinsen bereits in der nächsten Zinsperiode "Früchte tragen". Dabei gilt folgende Regel: Je größer die Zahl der Zinsverrechnungen pro Jahr ist, desto größer ist auch der effektive Jahreszinssatz und damit um so höher die Zinsen.
Beispiel: Ein Wertpapier, das mit einem Zins von 2 Prozent pro Kalenderquartal (m=4) verzinst wird, weist bei unterstellter Wiederanlage der Zinsen zu dieser Rate einen effektiven Jahreszins von 8,24 Prozent auf.
Im nebenstehenden Bild wird von einer monatlichen Zinsverrechnung (m = 12) ausgegangen. Mehrere Zinsverrechnungsperioden pro Jahr führen mithin zu einem höheren Effektivzinssatz. Manche Finanzrechner unterstellen, dass mit jeder unterjährigen Zahlung auch eine Zinsverrechnung erfolgt. Andere Rechner gehen nur von einer jährlichen Zinsverrechnung aus.
Ist beispielsweise festgelegt, daß der effektive Jahreszinssatz 8 Prozent betragen soll, so ist für unterjährign Zinsverrechnungen ein so genannter konformer Zinssatz zu ermitteln. Dieser Zinssatz muss bei vierteljährlicher Verrechnung im Beispiel etwas unter 2 Prozent liegen, damit der effektive Jahreszins auch 8 Prozent beträgt.
Beispiel: Eine Bank gewährt einem privaten Großanleger einen risikobehafteten Anlagezins von 8 Prozent. Aus strategischen Überlegungen möchte der private Großanleger vier Zinsperioden im Jahr vereinbaren. Die Bank zeigt sich flexibel und ermittelt einen konformen unterjährigen Zinssatz von 1,9427% (oder etwas genauer 1,9426546908) Prozent. Das heißt, pro Quartal wird dieser Zinssatz in Ansatz gebracht, damit der effektive Jahreszinssatz 8 Prozent beträgt.
Konformer Zinssatz und effektiver Jahreszins
Die Formeln in den Rechnermodulen berücksichtigen bei Vorgabe der Anzahl von Zinsverrechnungen pro Jahr (m) automatisch die Umrechnungen auf konforme (unterjährige) Zinssätze. Die Vorgabe erfolgt im Eingabefeld [? Zinsverrechnungen (m)]. Das Kürzel "m" steht für die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr. In manchen Fällen ist es für den Anwender hilfreich, sowohl den konformen (unterjährigen) Zinssatz als auch den effektiven Jahreszins auch selber zu kennen bzw. berechnen zu können.
Das Modul "Konformer Zinssatz – Umrechnungen" erlaubt diese Berechnungen. Der effektive Jahreszinssatz ist der Jahreszinssatz, der bei einmaliger Verzinsung zum gleichen Endkapital führt, wie die m-malige Verzinsung mit dem (unterjährigen) konformen Zinssatz. Die dritte Ergebniszeile "neuer nomineller Jahreszins" hat eher eine nachrichtliche Bedeutung.
Beispiel: Es wird der zu einem effektiven Jahreszinssatz von 6 Prozent gehörende monatliche konforme Zinssatz gesucht. Durch Vorgabe von ? Zinsverrechnungen (m) = 12 und Jahreszinssatz von 6 ergibt sich ein konformer Zinssatz von 0,4868%. Multipliziert mit 12 (Anzahl der Zinsverrechnungen) erhält man den (neuen) nominellen Jahreszinssatz von 5,8411%. Die Probe beweist die Richtigkeit: Wird jetzt 5,8411% als Jahreszinssatz vorgegeben, lautet das Ergebnis für den effektiven Jahreszinssatz 6,0%.
Vorschüssige und nachschüssige Verzinsung
Wenn die Zinsen für einen bestimmten Zeitraum am Ende dieser Periode entrichtet werden, so spricht man von nachschüssiger Verzinsung oder postnumerando fälligen Zinsen. Sind die Zinsen für einen bestimmten Zeitraum bereits zu Beginn dieser Periode zu zahlen, so spricht man von vorschüssiger Verzinsung oder pränumerando fälligen Zinsen. Im Wirtschaftsleben überwiegt die nachschüssige Verzinsung; der vertraglichen Vereinbarung von vorschüssiger Verzinsung steht jedoch nichts im Wege. So sehen Sparpläne in der Regel vorschüssige Verzinsung vor. Die Auswirkungen von vor- und nachschüssiger Verzinsung bei gleichen Eingabewerten ist bei langer Laufzeit höher als man allgemein denkt.
Beispiel: Der Stadtkämmerer der Stadt Münster hat am 1.1.1648 anlässlich des Abschlusses des Westfälischen Friedens zu Münster einen Cent (0,01 Euro) zu 5 % angelegt. Am 31.12.2008 würden bei nachschüssiger Verzinsung EUR 260.768,23 und bei vorschüssiger Verzinsung EUR 626.236,17 auf dem "Konto" stehen.
Gemischte Verzinsung von Einmaligen Zahlungen und Laufzeit in Tagen
Die Berechnung von Endkapital (FV) und Anfangskapital (PV) erfolgt sowhl nach der gemsichten als auch nach der reinen Zinseszinsrechnung.
Das Eingabefeld [Laufzeit in Tagen] wird daher sowohl für eine gemischte Verzinsung als auch für eine reine Zinseszinsrechnung verwendet. Gemischte Verzinsung bedeutet: Auf vollendete Laufzeitjahre greift die Zinseszinsrechnung. Für unvollendete Laufjahre verbleibt ein Teil, der "einfach" nach der 360-Zinstage-Methode verzinst wird.
Ein Sparbuch wird von einer Bank bei unvollendeten Laufzeitjahren in der Regel "einfach verzinst". So wird zunächst das Endkapital auf volle Laufzeitjahre nach der Zinseszinsrechnung und die verbleibenden Tage dann mit dem vorläufigen Endkapitalwert nach der einfachen Verzinsung ermittelt. Bei anderen Finanzsachverhalten ist hingegen ausschließlich die Zinseszinsrechnung anzuwenden. Der Rechner ermittelt daher beide Werte.
Dabei gilt wie folgt: [Endkapital bzw. Anfangskapital (gemischte Verz.)] steht für die "Sparbuchmethode". Die abgekürzte Ergebniszeile [End- bzw. Anfangskapital ohne gemischte Verzinsung] zeigt jeweils das Endkapital bzw. Anfangskapital bei auschließlicher Anwendung der Zinseszinsrechnung. So sind beide Ergebnisse (mit bzw. ohne gemischte Verzinsung) immer gleich, wenn die Laufzeit nur volle Laufzeitjahre umfasst.
Die unterjährige Laufzeit kann sowohl als Dezimalzahl bei Jahren ODER in Form von Tagen vorgegeben werden. Zulässig sind daher: Laufzeit in Jahre: 3,5 oder Laufzeit in Tagen: 180. Eine zweifache Eingabe von unterjährigen Laufzeiten in beiden Feldern sollte vermieden werden. Im Zweifel kann mit dem Zinstagekalender – auch datumsabhängig - genau die Anzahl der Zinstage (360-Basis) ermittelt werden.
Laufzeit einmaliger Anlagen
Die Aufgabenstellung zur Berechnung der Laufzeit lautet: Wie lange dauert es, bis ein Anfangskapital bei vorgegebener Verzinsung das Endkapital erreicht? Bitte beachten Sie, dass absolute Kapitalsummen nicht erforderlich sind, wenn ein Vervielfachungsfaktor bekannt ist. Eine derartige Fragestellung wäre zum
Beispiel: Wie lange dauert es, bis sich ein Kapital verdoppelt hat? In diesem Fall würde das Endkapital einem beliebigen zweifachen Anfangskapital entsprechen. Anmerkung: Die im Ergebnis umgerechnete Laufzeit in Tagen erfolgt auf Basis von 365 Tagen.
Beispiel: In wieviel Jahren verdoppelt sich ein Kapital bei 5,5% Jahreszins?
Lösung: 12,95 Jahre bzw. 12 Jahre und 345 Tage.
Oder ein weiteres Beispiel: Eine Erbschaft von 90.000 EUR wird zu 7 Prozent mit monatlicher Zinsverrechnung angelegt. Wie lange dauert es, bis sich das Kapital verdoppelt hat? Lösung: 9 Jahre und 340 Tage
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