Hinweis: Hier diskutieren interessierte Laien, für eine konkrete Rechtsberatung bitte einen Rechtsanwalt aufsuchen.
Zum Vertrag schrieb Thebat bereits etwas.
Ob die Eltern für einen Schaden haftbar gemacht werden können, hängt meines Wissens davon ab, ob sie ihre Aufsichtspflicht verletzt haben. Da kommt es auf die genaueren Umstände an. In dem Zusammenhang wird wohl auch die "Gegenfrage" gestellt werden, ob der Schaden hätte vermieden werden können - also ob man das Alter/das Geburtsdatum hätte erkennen müssen.
Wenn ein Personalausweis verfälscht wird, um z.B. einen Vertragsabschluss zu erreichen, werden auch strafrechliche Tatbestände erfüllt sein - in Deutschland ist man ab 14 Jahren strafmündig. Da wird allerdings die Frage sein, ob die Verfälschung noch nachweisbar ist oder ob es Zeugen gibt.
Meines Wissens kann auch die minderjährige Person in diesem Zusammenhang auch schadenersatzplichtig sein.
Ein Besuch beim Rechtsanwalt wäre aufgrund der vielen Details (z.B. Aufsichtspflicht, Beweislage) gewiss empfehlenswert, wenn es um relevante Beträge geht. Eine gütliche Einigung jenseits der Paragraphen ist dadurch ja nicht ausgeschlossen, jedenfalls was den eigenen Schaden betrifft.